Skip to content

История математики. 1920 Г.Н. Попов

У нас вы можете скачать книгу История математики. 1920 Г.Н. Попов в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Развитие атомистических представлений до начала XIX века. Математика в ее историческом развитии. История элементарной математики с указаниями на методы преподавания. Избранные главы истории математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных. Очерки по истории теории аналитических функций. Становление плоской и сферической тригонометрии.

История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства. Развитие теории чисел в России. Математика древняя и юная. Лекции по истории прикладной математики. Часть 1 математика до конца 17 века. Возникновение и развитие математической науки.

Математика и её значение для человечества. Математика и ее история. Очерк истории элементарной геометрии. Математический анализ в свете его истории. История математических наук в Грузии с древних времен до начала ХХ века. История математики, науки и культуры структура, периоды, новообразования. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов.

История длиною в лет. История математики в России до года. Главная Образование и наука Математика История математики. Подробнее об акции [x]. Я читал эту книгу. Рецензии Отзывы Цитаты Где купить. Большой роман о математике. История мира через призму математики. Числа - основа гармонии. Понятная книга о том, как устроен цифровой мир. Зарегистрируйтесь, чтобы получать персональные рекомендации.

Он пройдет мимо идеи, не потому что не заметит ее, а потому, что он не в состоянии ее понять. Особенно часты примеры этого отношения к произведениям тех мыслителей и, в частности, математиков, идеи которых оставляют далеко за собой современную им эпоху, когда прежде, чем эти идеи войдут в сознание, сменится целое научное поколение. История науки насчитывает тому не мало примеров: Непонятый и неоцененный современниками, Вронский умер, наука предала его имя забвению и только с семидесятых годов истекшего столетия в среде французских математиков началось движение в целях распространения учений забытого мыслителя.

В этом отношении особенно выделился астроном Ивон Вилларсо, который опубликовал в г. LXXXV1 ряд статей о теории синусов высших порядков, где приходит путем изучения общего показательного выражения атх к обнаружению новой группы функций и указывает, что эта последняя была уже открыта 50 лет назад Вронским.

Точно также немецкий математик Гаусс, заслуги которого чрезмерно преувеличены, по поводу мемуара знаменитого норвежского математика Абеля N. Abel, — о невозможности решения уравнений 5-й степени в радикалах в общем виде, выразился довольно определенно: Наконец, идеи великого русского геометра Лобачевского — не были совершенно поняты современниками и вызваны к жизни усилиями французского математика проф.

НоиеГя, который в г. Однако, при жизни великий ученый должен был с горечью убедиться, что за его работами не желают признавать научного значения даже те, на чье сочувствие и понимание, казалось бы, он мог рассчитывать. Высоко — даровитый русский математик М. Знаменательно, что ответ Лобачевского на эту статью напечатан не был. Если бы специалисты ограничивались изучением общих трактатов, если бы не было стремления к овладению первоисточниками и интереса к историческому элементу, это вредно отзывалось бы на ходе развития науки.

Авторы исследований по частным вопросам и, главным образом, авторы диссертаций часто наталкиваются на богатейшие темы при изучении работ математиков старших поколений: Чем больше в свое время опередил эпоху тот или другой великий ученый, тем больше оснований надеяться, что при детальном изучении его трудов из них удастся извлечь массу ценных и оригинальных идей, на которых печать времени нисколько не отражается.

Это и есть, по выражению Оствальда, та большая независимость от времени, которую столь охотно называют бессмертием гения, чему история математики дает тысячи примеров. Отсюда само собой в наиболее рельефной форме вырисовывается план работы в какой либо части истории математики. Только она дает возможность ориентироваться в массе материала и позволяет прежде всего сделать обзор существующей ценной литературы, экономя силы исследователя указаниями на то, что собственно в избранной области заслуживает внимания и изучения, а из личной истории великих деятелей науки позволяет произвести отбор всего, что могло бы содействовать ассимиляции их наследия в данное время.

Историк должен быть прежде всего обективным исполнителем предписаний своей науки: Биографии нет места в истории науки, но с тем большей тщательностью и добросовестностью сам историк должен с ней ознакомиться, чтобы поставить в определенное взаимоотношение факту личной жизни и условия, в которых протекала научная работа данного лица с тем наследием, коим определяется место его в науке, другими словами, характеристика значения его трудов должна быть свободна от влияния своеобразного комплекса ходячих мнений, часто весьма неправильных, подчинение которым искажает облик ученого и представляет его заслуги в форме совершенно несоответствующей действительности.

Популярность и известность ученого часто непропорциональны его истинным заслугам. Наоборот, многие деятели науки сплошь и рядом оставались в тени и в то время, как успехи одних раздувались до невероятных размеров, не отвечающих внутренним достоинствам их деятельности на поприще науки, заслуги других умышленно замалчивались, или приписывались чужому влиянию, чем Умалялось самостоятельное значения открытия, наконец, бывало и так, что это открытие приписывалось другому, не имеющему на то никаких прав.

Человеческие слабости свойственны и великим людям и на этой почве ученый мир бывал нередко свидетелем споров, интриг и даже драм. Высокомерие некоторых тузов науки, зависть одного к явному превосходству творческих сил другого — все это явления общеизвестные и, к сожалению, глубоко коренящиеся в человеческой натуре. Особенно часто возникали недоразумения по вопросу о приоритете, стоит вспомнить знаменитую полемику между творцами Дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем и их сторонниками.

Эта полемика не послужила к чести обеих сторон и только лишний раз показала, что в деле защиты своих заслуг великие люди прибегают подчас к таким же некрасивым приемам, как и обыкновенные смертные. У историка для установления истины в подобных случаях один путь: Что же касается правильной оценки научных заслуг, то все сводится к ознакомлению с тем, что сделано ученым в той.

Это не только желательно, но вменяется в -обязанность историку, если он не довольствуется повторением с чужих слов заведомо несправедливой оценки и не мирится с теми пристрастными отзывами, которые допускаются нередко во имя дурно понятого национального самолюбия в угоду шовинистическим тенденциям и при этом в ущерб истине сопровождаются подтасовкой исторических данных с явным преувеличением заслуг компатриотов за счет замалчивания и полного игнорирования успехов иноземной науки.

Взаимоотношения философии науки и ее истории. Если история математики в своих выводах неизбежно опирается на историю культуры, то в такой же мере философия науки стоит в зависимости от успехов ее истории.

Столь ясная наука, как математика, не нуждается, впрочем, в метафизическом истолковании ее начал. Геометр с его методом в философии может строить только карточные домики, а философ со своим методом в области математики может только пустословить. Гамильтон, шотландский философ не смешивать с У. Гамильтоном, знаменитым английским математиком, творцом теории кватернионов профессор логики и метафизики в Эдинбургск. По поводу этого А. Принсгейм в своей речи, произнесенной в открытом заседании Баварской Академии Наук в Мюнхене в г.

Большей частью они считают более полезным делом творить математические ценности, чем содействовать накоплению той горы бессмыслиц, которую создали в течение веков многочисленные метафизики, но я в этом вижу только заслугу, а неким образом не проявление каких нибудь умственных дефектов.

С другой стороны, достаточно назвать имена Декарта и Лейбница, чтобы доказать, что видные математики могут быть и видными философами. Надо добавить, что обратная теорема не имеет места: Поэтому, когда заходит речь о философии математики, о которой, кстати сказать, создалось довольно неясное представление не только среди широкой публики, но даже и среди специалистов, то надо раз навсегда условиться о какой собственно философии здесь говорят.

Мы берем сложившееся математическое понятие, подвергаем его логическому расчленению и тем самым определяем его конструкцию, т. Это — путь математика. Если оставить без внимания конструкцию понятия и, воспринимая его, как нечто данное, с целью констатировать наличность известного отношения — придти к установлению связи между элементами понятия — то это будет задача философа.

Наконец, если конструкщя понятия определяется по характеру исходного положения в смысле его генезиса т. Пусть нам дана какая нибудь математическая функция. Математик сейчас же построит кривую, т. Таким образом, методы и самой математики и ее философии одни и те же, но цели у них разные.

Например, математик будет с успехом применять формулы там, где это по ходу вопроса окажется нужным и полезным, совершенно не думая о том, что составляет заботу философии математики: Мы коснулись только главнейшей задачи философии математики, которая в наше время едва намечается.

У нас были математики-философы, были попытки философского построения системы математических знаний, есть ряд сочинений по отдельным вопросам философия геометрии, философия учения о числе , но философии математики, как науки, у нас нет и, при современном положении самой математики и ее истории, быть не может. В первой стадии своего развития философия математики ставит себе ряд вопросов, на которые она может ответить только при содействии истории науки.

Наиболее существенным является вопрос о положении математики в Ряду других наук и их взаимоотношении. Ниже приводимый Разбор этого вопроса покажет, насколько в решении его важно участие исторического элемента.

Несомненно, что древне-египетские и халдейские жрецы, располагавшие весьма солидным для своего времени запасом знаний, владели своеобразными, хотя и примитивными методами в деле накопления этих знаний, но пока до гас не дошло ни одного памятника их научной литературы, в котором бы затрагивались вопросы, связанные с историей происхождения и развития их науки в ее целом, равно ка; и вопросы, посвященные обозрению приемов ее разработки.

Первые попытки в этом направлении мы встречаем у греков. Платон — до Р. В своем учении об идеях, метафизическом по существу, Платон дает идеал науки в форме подчинения действии тельности теории, приводящей к логической классификации в виде геометрических форм.

Согласно этой классификации каждый чувственный обект принадлежит к определенному виду и этому виду соответствует однозначно тип, или мо-дель, т. Например, формам кубических кристаллов соответствует определенная математическая форма — куб, идея которого вызывается созерцанием этих кристаллов.

Нисшие виды выводятся из высших, причем соответственные идеи выводятся посредством применения к логически возможным случаям метода альтернативы.

Это — тип дедуктивной классификации, применимой в математике: Не трудно усмотреть в таком статическом понимании науки в ее целом пробел вслэдствии того, что игнорируется значение опыта; с другой стороны, такой концепцией отвергается эволюционный принцип.

Заслугой другого греческого мыслителя Аристотеля — до Р. Впрочем, построив теорию силлогистического доказательства, сам Аристотель усвоил по отношению к ней неправильный взгляд, как на источник и основу наших знаний. С его легкой руки это заблуждение, усердно распространяемое его последователями, особенно культивировалось в эпоху средних веков и задержало развитие науки, благодаря прочно усвоенной привычке к фиктивным обяснениям, ничего в сущности не обясняющим и сводившимся к бесплодной диалектике, зло осмеянной Мольером в одной из его комедий: Все науки Аристотель сводит в три группы под именем Теоретической, практической и поэтической философии, относя математику, как чисто формальную науку, к первой из них.

Сам Аристотель не был математиком, и в своих физических умозрениях даже для своего времени оказался из рук вон плохим физиком. Признавая значение опыта и наблюдения, в своей физике он не извлек из фактов никаких общих законов.

Менее других зараженный предрассудками и суевериями своего времени, он возвысился до понимания истинных целей и задач науки, отмечая три способа познания: Авторитет, говорит он, не имеет значения, пока не доказаны его основания, он не учит: В рассуждении мы отличаем силлогизм от доказательства посредством проверки выводов путем опыта. Наука, вооруженная опытом и вычислениями, не должна довольство-1 ваться фактами, хотя они и могут приносить ей пользу она ищет истины, ей необходимо установить законы и прин-1 ципы.

Доказывая, что каждая наука ищет опоры в математике, Р. Бэкон совершенно правильно оценивает роль этой последней. Эта наука, говорит он, будучи самой легкой, представляет лучшее введение к более трудным наукам. Здесь мы можем совершенно избежать сомнения и заблуждения и получить несомненность и истину, поэтому другие науки пользуются примерами, заимствованными из математики, как самыми очевидными. Все эти суждения свидетельствуют о том, что Р. В отношении знаний он стоял ниже уровня многих ученых своего времени и мог только построить методику теории знания и Дал классификацию наук, основанную на психологическом принцице деления, т.

Но существенной ошибкой со стороны ф. Бэкоиа было явное игнорирование математики, которой он не знал и не понимал. Сознавая различие между пассивным наблюдением, т. Тем не менее однй из несомненных заслуг Ф. Бэкона следует признать его указание на важность исторической обработки литературы. Бэкон принадлежит к числу тех мыслителей, роль которых в истории умственного развития Европы явно преувеличена.

Его принято считать отцом эмпиристической философии и метода научной индукции. Но в действительности он только дал толчек в известном направлении, подготовленный предшествующей деятельностью ученых более высокого порядка. Отказать ему в эрудиции нельзя, но он не был из числа отмененные божественной печатью гения и тех, кому суждено пролагать новые пути в науке.

Достаточно сказать, что он отверг систему Коперника, считая ее странной выдумкой, и тем самым отрезал все пути к научному обоснованию астрономии по рецепту, им же самим составленному. Презирая Арабов и пренебрежительно относясь к Греческим философам, Бэкон называет индукцию Аристотеля inductio per enumerationem simplicem, упрекая ее в недостатке методического характера однако, давая советы и указания как вести исследование по индуктивному методу, сам он не умеет им пользоваться, и, как правильно заметил Льюис, Бэкон, величественно следуя за различными течениями заблуждения до их источников, поддается тем же самым течениям, лишь только он покидает положение критика и берется сам за исследование порядка природы.

Paris, — , где он являлся сотрудником Дидро, сохранил в классификации наук неверный в корне психологический принцип Бэкона. В своем месте мы коснемся разбора этих взглядов, но для наших целей в вопросе выяснения роли математики в ряду других наук достаточно ограничиться рассмотрением синоптической таблицы, где все науки развертываются в линейный ряд в порядке их сложности: В основу указанного построения кладется идея иерархии наук, т.

Так напр, астрономию нельзя изучать, не зная математики, изучение химии требует знакомства с физикой и т. Идеальная классификация, если допустить мысль о возможности построения таковой, не должна носить характера застывшей, окристаллизованной формы.

Ее рамки должны , раздвигаться с движением науки вперед, не нарушая строй- ности схемы. Это требование, как нам кажется, исключает возможность построения исчерпывающей классификации, т. Эти отрасли несводимы друг к другу, каждая пользуется присущими ей мето-1 дами исследования и имеет свою точку зрения на предмет. Первые сами создают обекты исследования и выводы их достоверны, вторые берут объекты готовыми. Характер этих наук эмпирический и выводы их только вероятны.

Составление научной классификации во многом зависит от точки зрения, положенной в ее основу, что неизбежно кладет на нее печать субъктивности и след, распределение наук, удовлетворяющее одному условию, может оказаться неудовлетворительным в другом отношении.

Примером этого служат классификации Спенсера, Ампера, Курно. Одни слишком сложны, другие искусственны, третьи страдают внутренним противоречием.

Например, кристаллография, входящая в состав минералогии, должна быть отнесена к естественным наукам, а между тем в своей геометрической части она является по существу образцом научной дедукции и по своему содержанию подходит под тип наук математических; она конкретна, поскольку объекты ее исследования реальны и абстрактна, как учение о формах, покоющееся на незыблемых законах. В конце концов, raison detre всякой классификации в том, что она облегчает ориентировку в материале и с этой точки зрения построение систематизирующих схем важно в методологическом отношении, как средство упорядоченного изложения научной дисциплины, как учебного предмета.

Из числа тех классификаций, за которыми в виду их относительной удовлетворительности, можно признать значение научно-исторических фактов — все сходятся в одном пункте — именно они, независимо от исходной точки зрения, отводят математике первое место или как комплексу достоверных положений, или как лучшему методу исследования.

Что касается специальной классификации математических дисциплин, то и здесь, строго говоря, нельзя дать схемы, охватывающей науку в ее современном развитии, и, подчиняя какую нибудь ветвь этой схеме в смысле прикрепления к определенному месту, мы в угоду внешней стройности, поступаемся внутренней связью. Интересы и цели различных ответлений тесно переплетены и чем дальше идет развитие науки с одной стороны в ширь, а с другой в глубь, выявляются такие взаимоотношения между далекими на первый взгляд отделами, что способны нарушить порядок самой обрасцовой классификации.

Вследствие этого с ней можно только мириться как со средством для более удобного обозрения всего материала, располагая его в условном порядке, сохраняющим свою силу до поры, до времени. Возвращаясь к схеме Конта, мы видим у него следующую конструкцию: Первый отдел представляет абстрактную математику, второй и третий конкретную. Дифференциальное и Интегральное Исчисления. Вариационное исчисление и Исчисление конечных разностей выделены особо. Что касается теории чисел и теории Вероятностей, то в схеме Конта они пропущены: Точно также не разработана методологическая часть.

И то и другое требует историческаго освещения, без чего невозможно ни проследить эволюцию методов, ни создать картину постепенного расширения идеи числа, или воззрений на природу пространства. Объясняется это, конечно, тем, что в то время на эти вопросы математики вообще мало обращали внимания, а те работы частнаго характера, которые имелись в научной литературе, повидимому, не были известны Конту, а главное он мало интересовался историей математики и поэтому не мог использовать того, что уже и тогда помогло бы ему, если не притти к отределенным заключениям, то, во всяком случае, поставить на очередь решение этих кардинальных вопросов.

Как бы то ни было, во многих случаях он выказал правильное понимание задач математики, как науки: Вот г что он говорит по этому поводу в третьей лекции перваго тома философские соображения о совокупности математических наук. Известно, что Конт неприязненно относился к знаменитому французскому математику Лапласу, автору классического трактата, посвященного теории Вероятностей.

Bo II томе своего курса сам Конт оправдывает пропуск этой отрасли математических наук малым числом ее приложений в то время. Очевидно, это пронсте- I кало из недостаточно глубокого понимания сущности этой теории, получившей в дальнейшем огромное значение в целом ряде отраслей знания. Попыткой более высокаго порядка классифицировать все отрасли математических наук является во многих отношениях замечательная система философии математики Гоёне Вронскаго, о котором я уже упоминал выше.

Предмет математики составляет изучение законов формы физического мира, т. Субъктивные законы в своем целом представляют знание, при чем содержание знания определяется архитектоникой математики, продуктом которой является разбираемая таблица. Форма знания дает начало методологии математики.

Все содержание чистой математики зиждется на двух основных понятиях: Наука о числах называется Алгорифмией, охватывая все, что в настоящее время составляет предмет арифметики, алгебры, анализа и теории функций. Идея пространства соединение точек приводит нас к понятию протяжения, изучаемого в Геометрии.

В соответствии с этим в области геометрии законы протяжения составляют предмет Общей Геометрии, факты протяжения — предмет частной. В области общей геометрии опять таки то, что есть, объкт разумения является теорией, а то, что нужно делать объкт воли — технией. С системой Вронскаго, представляющей образец могучей дедукции, мало кто знаком и до настоящего времени и приходится пожалеть, что специалисты не обращали на нее внимания в той мере, в какой она того заслуживает своей общностью, глубиной истинно философской концепции и широтой кругозора в построении самой системы.

Одним из наиболее существенных достоинств системы является ее гибкость. Это не застывшая форма, вполне допускающая ее дальнейшее развитие с применением эволю-ционнаго принципа, без нарушения единства руководящей идеи.

Разветвления Алгорифмии в конечном итоге связываются между собой и вновь создающиеся члены научного ряда находят свое место в системе по мере возникновения, т. В своем современном состоянии для удобства обозрения всего достояния математики самая широкая классифицирую-щея схема, имея в виду тесную взаимную связь отдельных ее частей, распадается на четыре главнейших ветви: Что касается анализа, то здесь, в свою очередь, намечаются разветвленя: Дифференциальной Геометрией, наконец, теория функций всех типов.

Геометрия распадается на синтетическую, геометрию положения, Аналитическую метод координат , Начертательную метод проекций и Неэвклидовы геометрии, возникающие из рассмотрения пространственных концепций. Различающихся от обычной трехмерной. Известный французский математик Эмиль Пикар в своих лекциих, читанных в г. В этом отношении заметна большая разница между предшествующей эпохой и нашей.

Эти слова как нельзя более подтверждают все вышеизложенное по вопросу о неприменимости узких рамок какой бы то ни было классификации к необятному океану математических знаний, т. Вместе с тем выясняется, что игнорируя данные истории математики, нельзя справиться хоть сколько нибудь удовлетворительно даже и с этой последней задачей, так как, только проследив генетическую связь отдельных ветвей, можно их связать органически.

Единственной схемой может быть та, в основу которой кладется эволюционный принцип, требующий знания истории, но именно в силу этого она и явится наиболее естествен- ной, как наименее поддающаяся элементу субъктивности в ее построении.

Роль истории математики в освещении путей к устранению трудностей, возникающих при решении проблем. Васильев сообщает в одной из своих статей, что Чебышев высказал свой взгляд на цели и задачи современной математики в следующей форме: В первый период задача об удвоении куба задачи ставили боги.

В эпоху Паскаля, Фермата и других знаменитых геометров их давали полубоги. Слова Чебышева, конечно, не более как мысль, высказанная ради красивой формы, что же касается утверждения Граве, то в его истинности мы позволили себе усумниться. Если практика, как показывает история, и ставила задачи, то развитие математики на этой почве под преобладающим влиянием утилитаризма совершалось только в первой стадии накопления научного материала, когда об идеальных целях и стремлениях науки, как таковой, не могло быть и речи.

Чем тоньше становилось интеллектуальное развитие, чем больше человек овладевал способностью к дедукции, освобождаясь от пут грубого эмпиризма, тем ярче вырисовывались цели познания и тем интенсивнее работал человеческий ум в направлении возможного совершенствования начал науки безотносительно к их практической применимости.

Вне этого импульса наука никогда не достигла бы ледяных вершин абстракции, откуда открываются необозримые горизонты и наука, как могучий властелин, окидывает все проникающим взором свои владения. Если бы позволить потребностям момента сковывать полет творческой фантазии, мы вместо стройного здания науки располагали бы обрывками бессистемного знания.

История науки показывает нам, что в разные эпохи практика выдвигала на очередь чаще всего такие задачи, с которыми наука не могла справиться наличными средствами. В некоторых случаях сложность проблемы действительно побуждала к работе в определенном направлении, которая иногда увенчивалась успехом, но как общее правило наблюдается как раз обратное: Но неустанно работавшая мысль человеческая создавала новые средства и приемы исследования, не заботясь о практической стороне: Характерно, чго многие замечательные открытия в области математики совершены попутно при стремлении к решению другого, заране поставленного вопроса.

Иногда математик приходит к таким соотношениям, которые кажутся замкнутыми в своей абстрактной форме, изолированными от реального мира. Но эго до поры, до времени: Когда в г.

Фарадей установил законы индукции между токами и магнитами, его спросили: Он растет, чтобы стать человеком. Ребенок Фарадея стал человеком и является теперь основой всех современных практических применений электричества. Идеи его, в свое время плохо понятые, обработаны математически сорок лет спустя Максуэллем. Так создалась электромагнитная теория света. Подобных примеров не мало и в области математики, разве древне-греческие геометры, изучавшие свойства конических сечений, подозревали, что это открытие много веков спустя будет иметь решающее значение для астрономии.

Ксенофонт, ученик Сократа, свидетельствует, что этот мудрец придавал значение геометрии, поскольку этого требует практическая жизнь, считая все остальное в этой области безплодными умозрениями, Конечно, Сократ не понимал математики, но его мнение было авторитетно и оно могло бы гибельно отозваться на успехе науки.

К счастию, этого не случилось и тедцусдпому, что великие геометры в своем проникновенном ггве мало думали о практической- полезности их открытий. Мы не настаиваем на утверждении, что в этом принципе с давних времен уже осуществляемом математиками, хотя и бессознательно, лежит существенное основание неудержимого прогресса математики.

Сам Ганкель ссылается при этом на закон простых чисел, трисекцию угла и удвоение куба. Рассмотрим хотя бы вторую из этих задач, над которой бесплодно бились видные геометры Греции. Как известно элементарная геометрия допускает пользование только двумя инструментами: Таким путем можно решить задачу для частного случая, именно, пифагорейцы уже умели делить на три равные части прямой угол при помощи равностороннего треугольника. Однако, в общем виде, т. Сознавая, что задача недоступна средствам элементарной геометрии, греческие ученые потратили не мало сил и остроумия, чтобы подойти к решению вопроса с другой стороны.

По свидетельству Прокла, другой геометр Никомед изобрел для этой же цели кривую — конхоиду. Знаменитый Архимед показал, что кроме конхоиды можно пользоваться и коническими сечениями. Папп Александрийский также дает решения при помощи конхоиды, или гиперболы. Переведем теперь вопрос на современный символический язык.

По данному углу 3-я требуется построить угол я. Так как по известному из тригонометрии соотношению Для всех углов типа решение будет иметь место, для всех других углов кубичное ур — не будет неприводимым и след, в общем виде решение задачи невозможно.

Клейн по этому поводу говорит: Достаточно указать на задачи: При всем том имеется много людей, которые и по сей день занимаются этими задачами, не только не имея никакого представления о высшей математике, но и не зная даже постановки вопроса о доказательстве невозможности. Сообразно своим познаниям, ограничивающимся обыкновенно элементарной геометрией, они пытаются преодолеть затруднения вспомогательными прямыми и окружностями, и в конце концов, награмождают их в таком количестве, что никто не в состоянии разобраться в получающейся путанице и непосредственно показать автору его ошибку.

Вы напрасно будете ссылаться на существующее доказательство невозможности, так как на этих людей в лучшем случае можно повлиять только прямым указанием допущенной ими ошибки. Приведенный нами пример ярко подчеркивает роль истории математики в освещении тех трудностей, с которыми сопряжено решение той, или иной проблемы. Типичным примером, поучительным с исторической точки зрения является вопрос о решении уравнений в радикалах.

Арабы легко справлялись с квадратными уравнениями, чтоже касается кубичных, то знаменитый математик Омар Алькгайями в своем трактате по алгебре Woepcke, LAlgebre dOmar Alkhayyami, publiee, traduite et accompagnee dextraits de manuscrits indits. Алгебраически эти уравнения, а также и 4-й степени разрешены позднее главным образом благодаря усилиям итальянских математиков Ферро, Тарталья, Кардано и Феррари. В конце концов Лагранж готов был думать, что решение уравнения пятой степени невозможно.

С тех пор как Абель доказал невозможность решения в радикалах в общем виде уравнений 5-й степени1 , всякий человек понимающий в математике настолько, чтобы разобраться в доказательстве Абеля, теорема эта излагается в подробных курсах Высшей Алгебры не станет тратить безполезно труд и время, чтобы сделать невозможное возможным. Если он заинтересуется историей развития этого вопроса, то он увидит, что здесь две существенно различных фазы: Вторая — по закреплении в науке новаго завоевания, несет с собой новую точку зрения на проблему, сберегая одновременно силы ученых для более благодарной работы.

С этого момента задачей в ее прежней постановке могут заниматься или невежды, не дающие себе труда ознакомиться с ее историей, или упрямцы, лишенные способности понять смысл кардинальнаго момента, соответствующаго научному открытию и отделяющаго первую фазу от второй.

История математики и здесь показывает нам, что вопрос о решении Уравнений переносится опять таки в новую плоскость. На очередь ставится проблема об алгебраическом решении. Сам Абель открыл Между прочим целый класс таких уравнений, носящих по предложению Кронекера, его имя. Честь разрешения этой проблемы принадлежит гениальному французскому математику Галуа, к великому несчастью для науки безвременно погибшему и не успевшему дать окончательную обработку своему мемуару, напечатанному в г.

Позднее французский математик Серре дал доказательство этих теорем и полное изложение теории Галуа во втором томе своего курса Высшей Алгебры. Этот пример указывает, что в каждом отдельном случае знакомство с историей проблемы и положением ее в i настоящий момент определяет дальнейшее направление творческой мысли, намечая те пути, следуя которым преемники великих идей содействуют их дальнейшему развитию.

Не надо забывать, что мысль человеческая на пути искания истины редко когда шла сразу по линии наимень-1 шего сопротивления: В этих многократных уклонениях и колебаниях всякая идея проходила через горнило критической работы разума прежде чем от- литься в форму приемлемого научного положения. На темном историческом фоне нелепостей, заблуждений и патологических изворотов мышления яркими огненными знаками выступают то тут, то там проникновенные мысли математического гения, освещая путь вперед и служа вехами в неудержимом полете творческой фантазии последующих поколений.

Различие взглядов Бернулли и Лейбница на природу логарифмов отрицательных чисел, расходящиеся ряды, мистические увлечения свойствами чисел, геометрическая интерпретация мнимых количеств, теории параллельных линий, пресловутая квадратура круга, метафизические споры об истинной природе предела и сущности дифференциалов — все это исторические факты, с которыми точной науке приходится считаться и приведенные примеры являются типичной иллюстрацией к характеру искания истины в области математики.

Нам кажется, что если было бы возможно в этих целях построить громадную историческую диаграмму, то это оказалось бы не только курьезно, но и весьма поучительно. Автор задался оригинальной целью нарисовать картину всех сумасбродств в области математики, физики и астраномии, которые когда либо печатались.

Историк математики пройдет мимо каждого из них, как отдельной личности, но с явлением подобного рода в его целом он должен считаться, как с весьма знаменательным фактом, свидетельствующим о том, что история математики чуть ли не наполовину есть история заблуждений человечества в этой области.